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浙江省2014年4月自学考试10023实变函数与泛函分析初步试题
浙江省2014年4月高等教育自学考试
实变函数与泛函分析初步试题
课程代码：10023
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。
1．设C={x|x是一个数列{xn}且xn∈{0,1}，n=1,2,…}，则C的子集所组成的集合的基数
A.正好是a B.正好是c
C.大于c D.小于a
2．设Q1是由某些有理数组成的无限集，D是有理系数多项式的全体，L是由所有有理系数多项式的所有零点组成的集合，则
A.> B.<
C. = D.<
3．设集列{An}两两不相交，且每个An都是非空的有限集，则An是
A.空集 B.非空的有限集
C.可数集 D.不可数集
4．若I是无理数集，A=(0,2)∩I，B=(－1,5］－I，则A∪B的闭包是
A.［0,2］ B.［0,5］
C.［－1,2］ D.［－1,5］
5．在R2中，设An是可数集，An，An是可测集，且m*(E－An)→0(n→∞)，则E是
A.可测集 B.可数集
C.不可数集 D.不可测集
6．若可测函数列的极限存在，则极限函数是
A.简单函数 B.有界函数
C.可测函数 D.可积函数
7．设P是康托尔集且f(x)=，则=
A.-2 B.-1
C.3 D.6
8．设{fn(x)}为可测集E上的非负可测函数列，则－是
A.负实数 B.0
C.正实数 D.非零实数
二、判断题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
判断下列各题，在答题纸相应位置正确的涂“A”，错误的涂“B”。
9.有限个不可数集的交集是不可数集。
10.n维欧氏空间中的可数集一定是Fσ型集。
11.设E是可测集，则一定存在闭集F使得m(E－F)=0。
12.1维欧氏空间中测度是零的点集一定没有内点。
13.设E是勒贝格可测集，则存在Gδ型集G使得m(G－E)=0且G
E。
14.处处不连续的函数一定不是勒贝格可积的。
15.单调函数处处可导。
三、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
16.可数个可数集的并集一定是______。
17.在2维欧氏空间R2中,｛(x,y)|x2+y2<1－(x,y)|y=x2｝导集是______。
18.若A是有理数集，则在一维欧氏空间中，［0,2］∩A的边界是______。
19.在E上，若fn(x)依测度收敛于g(x)且fn(x)依测度收敛于0，则g(x)几乎处处等于______。
20.设f(x)=cos，则=______。
四、完成下列各题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
21.证明康托尔集P的测度是零。
22.设f为定义在［－1,1］上的可导函数，试证明f′(sinx)是(－∞,+∞)上的可测函数。
23.设mE<+∞,在E上,｛fn｝依测度收敛于0,证明。
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实变函数与泛函分析初步试题
课程代码：10023
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。
1．设C={x|x是一个数列{xn}且xn∈{0,1}，n=1,2,…}，则C的子集所组成的集合的基数
A.正好是a B.正好是c
C.大于c D.小于a
2．设Q1是由某些有理数组成的无限集，D是有理系数多项式的全体，L是由所有有理系数多项式的所有零点组成的集合，则
A.> B.<
C. = D.<
3．设集列{An}两两不相交，且每个An都是非空的有限集，则An是
A.空集 B.非空的有限集
C.可数集 D.不可数集
4．若I是无理数集，A=(0,2)∩I，B=(－1,5］－I，则A∪B的闭包是
A.［0,2］ B.［0,5］
C.［－1,2］ D.［－1,5］
5．在R2中，设An是可数集，An，An是可测集，且m*(E－An)→0(n→∞)，则E是
A.可测集 B.可数集
C.不可数集 D.不可测集
6．若可测函数列的极限存在，则极限函数是
A.简单函数 B.有界函数
C.可测函数 D.可积函数
7．设P是康托尔集且f(x)=，则=
A.-2 B.-1
C.3 D.6
8．设{fn(x)}为可测集E上的非负可测函数列，则－是
A.负实数 B.0
C.正实数 D.非零实数
二、判断题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
判断下列各题，在答题纸相应位置正确的涂“A”，错误的涂“B”。
9.有限个不可数集的交集是不可数集。
10.n维欧氏空间中的可数集一定是Fσ型集。
11.设E是可测集，则一定存在闭集F使得m(E－F)=0。
12.1维欧氏空间中测度是零的点集一定没有内点。
13.设E是勒贝格可测集，则存在Gδ型集G使得m(G－E)=0且G
E。14.处处不连续的函数一定不是勒贝格可积的。
15.单调函数处处可导。
三、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)
16.可数个可数集的并集一定是______。
17.在2维欧氏空间R2中,｛(x,y)|x2+y2<1－(x,y)|y=x2｝导集是______。
18.若A是有理数集，则在一维欧氏空间中，［0,2］∩A的边界是______。
19.在E上，若fn(x)依测度收敛于g(x)且fn(x)依测度收敛于0，则g(x)几乎处处等于______。
20.设f(x)=cos，则=______。
四、完成下列各题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
21.证明康托尔集P的测度是零。
22.设f为定义在［－1,1］上的可导函数，试证明f′(sinx)是(－∞,+∞)上的可测函数。
23.设mE<+∞,在E上,｛fn｝依测度收敛于0,证明。
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